cours Fonctions holomorphes Analyse fonctionnelle smp s3

cous Les Mathématiques pour

l’Agrégation

Table des matières de cous

1 Fonctions holomorphes 2

 1.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Vers le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Topologie de H(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Zoologie des applications holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Théorème de Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 Fonctions holomorphes majorées par un polynôme . . . . . . 15

1.5.3 Fonctions holomorphes tendant vers l’infini en l’infini . . . . 15

1.5.4 Sphère de Riemann Cb - Fonctions holomorphes sur Cb . . . . . 16

2 Analyse fonctionnelle 19

2.1 Résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Le théorème de Baire et ses conséquences . . . . . . . . . . . 24

2.1.3 Autres définitions et propriétés indispensables . . . . . . . . . 26

2.1.4 Quelques convergences dans les espaces de fonctions . . . . . 27

2.2 Théorèmes d’Ascoli et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 La hiérarchie des C k (Ω), avec Ω ouvert de R n . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 La topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 Liens entre topologie faible et topologie forte . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.2 Dans le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.1 Espaces Lipα(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.2 Espaces C k,α(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7 Zoologie de l’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7.1 La topologie faible n’est pas la topologie forte en dimensioninfinie . . . . . 46

2.8 Les topologies sur E0 . . . . . . . . 47

2.8.1 La topologie faible-* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8.2 Un résultat utilisant le théorème d’isomorphisme de Banach, le

théorème d’Ascoli et le théorème de Riesz . . . . . . . . . . . 

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